VEKTOR

Disini saya akan mereview materi tentang vektor.
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah. Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor.

Pada gambar di atas arah panah menunjukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dan ujung panah dinamakan titik akhir (terminal poin) dari vektor.

NOTASI VEKTOR (Cara Penulisannya)

Penulisan vektor dalam matematika dapat dinyatakan dalam huruf kecil tebalmisalnya a, k dan z. Namun pada kenyataanya tangan kita tidak terbiasa menulis tebal-tipis huruf sehingga akan sedikit merepotkan, sehingga ada alternatif penulisan lainnya yakni

Catatan: Dua vektor atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika arah dan panjangnya sama. Pada di atas vektor k dan z sebab memiliki arah dan panjang yang sama, walaupun letaknya berbeda.

OPERASI VEKTOR

Jika sebelumnya penggambaran vektor dari sudut pandang geometri. Sekarang karena pembahasannya sudah sampai operasi vektor maka kita akan bahas konsep vektor secara analitis. Sehingga nantinya kita juga mendapatkan konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor secara analitis.

Artinya, secara analitis jika kita punya vektor v berada pada ruang-2 (ruang dimensi 2 atau kita gunakan bidang kartesius) maka kita dapat menuliskannya :

Contohnya pada gambar di atas, vektor a mempunyai titik awal di titik (9, -2) dan titik akhir di titik (6,5) sehingga berdasarkan persamaan di atas maka a dapat kita tuliskan :

Kemudian bagaimana jika vektornya berada pada ruang-3 (ruang dimensi 3) ?

Jangan khawatir, hal tersebut tidak jauh berbeda dengan konsep yang di ruang-2. Misalkan kita punya v dengan

Ilustarsi :

Ilustrasi Vektor Di Ruang 3

Maka dapat kita tuliskan :

Catatan : Apabila vetor v adalah sebuah vektor yang titik awalnya di titik pusat koordinat (Contoh pada ruang-2 (0,0) maka vektor biasa disebut sebagai vektor posisi.

Contoh 1

Misalkan kita punya vektor a dan b

sebagai berikut :

Tentukan hasil dari a + b

Penyelesaian :

Secara geometri kita geser vektor

Secara analitis

Diketahui

Sehingga diperoleh :

Penyelesaian Pada RStudio :

install.packages("mise")

library(mise)

mise()

########Penjumlahan Vektor########

A=matrix(c(3,2),1,2)

B=matrix(c(-7,5),1,2)

hasil1=A+B

Contoh 2

Misalkan vektor a dan b didefinisikan sebagai berikut :

Tentukan hasil dari a+3b

Penyelesaian :

Secara geometri

Kemudian kita gunakan sifat operasi penjumlahan sehingga diperoleh

Secara Analitis

Jika menyelesaikannya secara analitis maka :

Sehingga berdasarkan sifat operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar maka kita dapatkan :

Penyelesaian Pada RStudio :

install.packages("mise")

library(mise)

mise()

########Perkalian Vektor########

A=matrix(c(6,5),1,2)

B=matrix(c(4,0),1,2)

hasil1=A+B

hasil2=A+(3*B)

hasil3=A+(3%*%B)

hasil4=A+B+B+B

Contoh 3 Misalkan diberikan dua buah vektor di ruang-2 sebagai berikut :

Tentukan hasil dari a-b

Penyelesaian :

Ingat kembali bahwa jika suatu vektor dikali dengan skalar yang bernilai negatif maka hasil perkaliannya berupa vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor yang dikalikan.

Sedangkan secara analitis diperoleh hasil :

Sehingga berdasarkan sifat operasi pengurangan vektor, diperoleh :

Penyelesaian Pada RStudio :

install.packages("mise")

library(mise)

mise()

########Pengurangan Vektor########

A=matrix(c(6,5),1,2)

B=matrix(c(-4,7),1,2)

hasil1=A-B

Perkalian Vektor dengan Vektor

Operasi ini terbagai menjadi 2 bagian, pertama Perkalian Titik (dot product) dan yang kedua adalah Perkalian Proyeksi dalam Vektor (cross product).

Rumus perkalian titik :

Rumus Perkalian silang dua vektor

jika dinyatakan dalam bentuk determinan :

Contoh

Penyelesaian :

Cara pertama (menggunakan persamaan pertama)

Cara kedua dengan menggunakan konsep determinan matriks :

Penyelesaian Pada RStudio :

install.packages("mise")

library(mise)

mise()

################

Cross <- function(x, y, i=1:3) {

To3D <- function(x) head(c(x, rep(0, 3)), 3)

x <- To3D(x)

y <- To3D(y)

Index3D <- function(i) (i - 1) %% 3 + 1

return (x[Index3D(i + 1)] * y[Index3D(i + 2)] -

x[Index3D(i + 2)] * y[Index3D(i + 1)])

}

A=matrix(c(1,2,3),1,3)

B=matrix(c(3,2,1),1,3)

hasil1=A*B #x1x2 + y1y2 +z1z2

hasil1=sum(hasil1)

hasil2=Cross(A,B)

SIMPULAN VEKTOR Rn / RUANG-n EUCLIDES

Operasi standar pada ruang-n euclides ( ) meliputi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar. Selain itu, berlaku juga operasi hasil kali titik (dot product). Lalu bagaimana dengan hasil kali silang (cross product)? Dalam ruang-n euclides, cross product berlaku dengan baik di.

Hasil Kali Titik (Dot Product)